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Inhalt:
Allgemeines
Kondensator und Gleichspannung
Kondensator an rechteckförmiger Spannung
Allgemeingültige Berechnung des Stromverlaufs
Kondensator an sinusförmiger Spannung
Leistungsaufnahme
 Weitere Themen:
Kondensator (Grundlagen)
Kondensatortypen
Anwendung in der Elektronik


Allgemeines

Nachfolgend wird beschrieben, wie sich ein Kondensator bei Gleich- und Wechselspannung verhält. Zum grundsätzlichen Verständnis sind keine mathematischen Kenntnisse erforderlich sondern einfach der gesunde Menschenverstand und das Wissen, wie ein  Kondensator aufgebaut ist und wie er funktioniert. Lediglich zur Berechnung des Stromverlaufs bei sinusförmiger Spannung kommt man um etwas Mathematik leider nicht herum. Wer Abitur hat, sollte mit Kenntnissen, die man im Mathematik-Grundkurs in der Oberstufe erwirbt, der Berechnung leicht folgen können. Wer mit den Begriffen "Sinus" und "Ableitung einer Funktion" nicht viel anfangen kann, sollte großzügig über die Berechnungen hinwegsehen und einfach versuchen zu verstehen, wie es funktioniert. Denn man benötigt zwar mathematische Kenntnisse, um Berechnungen durchzuführen, aber man braucht diese nicht unbedingt, um die Zusammenhänge zu verstehen.


Kondensator und Gleichspannung

Um das Verhalten von Kondensatoren bei Wechselspannung zu verstehen, muß man zuerst einmal verstehen, was beim Anlegen einer Gleichspannungsquelle passiert. Zeitlich passiert folgendes: In dem Moment, in dem man die Spannungsquelle mit dem ungeladenen Kondensator verbindet, fließen schlagartig sehr viele Elektronen auf die mit dem Minuspol verbundene Platte. Sie sammeln sich auf der Oberfläche der Platte, die deshalb negativ geladen wird. Die Anzahl der Elektronen ist dabei begrenzt und hängt linear von der Höhe der Spannung ab.



Bild 1: Kondensator an Gleichspannung

Auf der anderen Platte fehlen die Elektronen, die auf die negativ geladene Platte "gepumpt" wurden. Durch den Elektronenmangel ist diese Platte nun positiv geladen (herrührend durch die positive Ladung der Metallionen). Den gesamten Vorgang, Elektronen auf der negativen Platte anzuhäufen und von der positiven Platte abzusaugen, bezeichnet man im Fachjargon als Aufladen eines Kondensators. Wenn man nun mit einem Spannungsmeßgerät die Spannung zwischen den beiden Platten mißt, wird man feststellen, daß sie exakt mit der Betriebsspannung übereinstimmt. Dies ist auch wenig verwunderlich, da ja die obere Platte direkt mit dem Pluspol und die untere mit dem Minuspol verbunden ist.

Ein weiterer Stromfluß findet nach dem Ladevorgang unter der Voraussetzung einer gleichbleibenden Spannung nicht statt, und auch sonst findet keine Veränderung statt. Wenn man nun den Kondensator von der Spannungsquelle abklemmt, bleiben die Elektronen dort, wo sie sind; beim Abklemmen haben sie nämlich keine Chance, woanders hinzufließen. Wenn man jetzt z.B. ein kleines Lämpchen an den Kondensator anschließt, bekommen die "unter Druck stehenden" Elektronen auf der negativ geladenen Platte die Chance, diesen "Druck" abzubauen und fließen über das Lämpchen solange zur positiven Platte, bis sich auf beiden Platten gleichviele Elektronen befinden, d.h. bis alle zusätzlichen Elektronen auf die Platte zurückgekehrt sind, von der sie ursprünglich stammen. Dieses Entladen passiert genauso wie das Aufladen sehr schnell, so daß das Lämpchen lediglich kurz aufblitzt.

Sicher haben Sie schon davon gehört, daß ein Kondensator Gleichspannung sperrt. Aber gerade oben wurde erklärt, daß beim Einschalten doch Strom fließt. Dies ist kein Widerspruch, denn das Einschalten ist eine Veränderung und damit keine Gleichspannung. Wenn nach ganz kurzer Zeit der stationäre Zustand erreicht ist (Kondensator geladen), fließt kein Strom. Genau das ist gemeint, wenn man sagt, daß ein Kondensator Gleichspannung sperrt. Denn Strom kann nur dann fließen, wenn sich die Spannung am Kondensator ändert.


Kondensator an rechteckförmiger Spannung

Jetzt aber zum Verhalten bei Wechselspannung. Die Gleichspannungsquelle aus obigem Versuch kann man als niederfrequente Wechselspannungsquelle verwenden, indem man über einen Wechselschalter die Polarität vertauscht. In Bild 1 ist eine hierfür geeignete Schaltung dargestellt.


Bild 2: Mechanische Wechselspannungserzeugung

Befindet sich der Schalter wie in Bild 2 in der oberen Stellung, ist der Pluspol der speisenden Batterie mit der oberen Platte verbunden. Die mit dem Pluspol verbundenen Leitungen sind der Übersicht halber rot gezeichnet und die mit dem negativen Pol verbundenen blau.


Bild 3: Obere Schaltstellung

In der unteren Stellung werden die Leitungen zum Kondensator durch den Schalter vertauscht, d.h. der Pluspol der Batterie ist mit der unteren Platte verbunden.


Bild 4: Untere Schaltstellung

Wenn man nun manuell hin- und herschaltet, erzeugt man am Ausgang des Schalters eine niederfrequente rechteckförmige Spannung, die einmal positiv und einmal negativ ist. Bei jedem Umschaltvorgang fließt ganz kurz ein hoher Strom. Der Strom ist dabei von der Polarität der Spannung abhängig. Es ergibt sich folgender Verlauf:


Bild 5: Spannungs- und Stromverlauf bei Rechteckspannung

Blau ist dabei der Spannungsverlauf direkt hinter dem Schalter dargestellt. Durch das Umschalten springt die Versorgungsspannung zwischen +UB und -UB entsprechend der Schaltstellung hin und her. Der rot skizzierte Stromverlauf entspricht dabei der Realität d.h. unter Berücksichtigung realer Leitungswiderstände. Je größer diese Leitungswiderstände sind, desto niedriger ist der Strom im Einschaltaugenblick. Der in obigem Bild angegebene Spitzenstrom Imax berechnet sich gemäß dem ohmschen Gesetz aus Betriebsspannung UB und Widerstand, wobei sich aufgrund der normalerweise sehr niedrigen Leitungswiderstände schon bei niedriger Spannung sehr hohe Werte ergeben. Dieser Strom fließt allerdings nur extrem kurze Zeit.

Verwendet man eine längere Zuleitung zum Kondensator, steigt der Leitungswiderstand an, wodurch der Spitzenstrom Imax abnimmt. Gleichzeitig wird man feststellen, daß die kurzen Strompulse länger dauern. Die Erklärung für dieses Phänomen ist einfach: Bei einer bestimmten Spannung hängt die Anzahl der Elektronen, die von einer Platte auf die andere befördert wird, nur von der Kapazität des Kondensators und der Spannung ab. Der Widerstand sorgt dafür, daß die Elektronen dies nicht beliebig schnell tun können, sondern begrenzt die Anzahl der Elektronen pro Zeiteinheit. Da die Gesamtzahl der umzulagernden Elektronen sich nicht ändert, benötigt dieser Vorgang bei einem hohen Widerstand länger als bei einem kleinen.

Wie man sieht, springt der Strom im Umschaltaugenblick augenlicklich auf dem Maximalwert und nimmt dann zunächst sehr schnell und dann immer langsamer ab. Der Grund dafür ist, daß im Umschaltmoment der Kondensator entweder auf +UB oder -UB aufgeladen ist und plötzlich eine Spannung mit entgegengesetzer Polarität angelegt wird. Die Spannungsdifferenz ist daher maximal, so daß auch der durch die Leitungswiderstände begrenzte Strom maximal ist. Durch den Strom wird der Kondensator entgegengesetzt zu seiner ursprünglichen Ladung geladen, wodurch sich seine Spannung der Spannung hinter dem Schalter (also +UB oder -UB) angleicht. Die Spannungsdifferenz nimmt deshalb ab, so daß als Folge auch der Strom abnimmt. Mit abnehmendem Strom ändert auch der Kondensator weniger schnell seine Spannung, weshalb als Folge wiederum der Strom langsamer abnimmt.

Zum Abschluß der Betrachtungen, wie ein Kondensator bei Betrieb an rechteckförmiger Spannung reagiert, folgt eine kleine Korrektur: Genaugenommen ist das Schaltbild in Bild 2 nicht korrekt. In elektrischen Schaltbildern werden Leitungen nämlich grundsätzlich als widerstandslos angenommen. Bei diesen Betrachtungen spielen die Leitungswiderstände jedoch eine große Rolle. Wenn man die realen Gegebenheiten beschreiben will, bei denen die sehr niedrigen Leitungswiderstände, die man normalerweise vernachlässigen kann, eine Rolle spielen, muß man sie als Bauelement, d.h. als Widerstand darstellen:


Bild 6: Schaltung mit realen Widerständen

Hierbei kommen gleich noch weitere Widerstände zum Vorschein. Abgesehen vom Leitungswiderstand RLeitung tauchen im Schaltbild nämlich der Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle und der Kontaktwiderstand RKontakt des Schalters auf. Da es sich um 2 Kontakte und um 2 Leitungen (Hin- und Rückleitung) handelt, sind RLeitung und RKontakt zweimal vorhanden. Der wirksame Gesamtwiderstand, der für die Strombegrenzung verantwortlich ist, ergibt sich durch Addition aller Widerstände.


Allgemeingültige Berechnung des Stromverlaufs

Wie wir oben gesehen haben, haben Rechteckspannungen hohe Ströme an den Umschaltflanken zur Folge, die nur durch die Leitungswiderstände begrenzt werden. Ist der Kondensator geladen und bleibt die Spannung konstant, fließt hingegen kein Strom. Strom fließt also nur, wenn sich die Spannung ändert. Bei rechteckförmiger Spannung ist die Spannungsänderung extrem, da sie augenblicklich die Polarität wechselt. Die Änderungsgeschwindigkeit ist dabei unendlich hoch was auch der Grund für die hohen Ströme ist, weil ja innerhalb kürzester Zeit die Elektronen von der oberen Platte zur unteren oder umgekehrt fließen müssen.

Aber was passiert, wenn die Änderungsgeschwindigkeit der angelegten Spannung gering ist? Die Antwort ist, daß dann auch der Strom gering ist. Denn wenn pro Zeiteinheit die Spannung nur geringfügig steigt, kann man nur geringfügig mehr Elektronen auf der Platte des Kondensators unterbringen. Wenige Elektronen pro Zeiteinheit sind ja bekanntlich gleichbedeutend mit einem geringen Strom. Eine Signalform, bei der man dies sehr schön beobachten kann, ist eine dreieckförmige Spannung:


Bild 7: Spannungs- und Stromverlauf bei Dreieckspannung

Wie man sieht, steigt die Spannung mit konstanter Steigung an, bis sie den positiven Scheitelwert erreicht. Dann sinkt sie mit konstantem Gefälle bis zum negativen Scheitelwert, wo erneut ein Polaritätswechsel erfolgt. Während des Spannungsanstiegs mit konstantem Gradienten passiert genau das, was oben beschrieben ist: Es fließt eine immer gleichbleibende Anzahl von Elektronen pro Zeiteinheit von der oberen zur unteren Platte des Kondensators, d.h. der Strom ist konstant. Sinkt die Spannung, kehrt sich der Stromfluß um, d.h. es fließt nun ein konstanter negativer Strom. In dem Moment, in dem die Richtung der Spannungsänderung umschaltet, kehrt sich der Stromfluß augenblicklich um. Die Folge ist, daß der Strom einen rechteckförmigen Verlauf hat. Da die Änderungsgeschwindigkeit begrenzt ist, ist der Strom relativ gering, so daß die Leitungswiderstände keine nennenswerte Rolle spielen.

Wenn man die Frequenz bei gleichbleibender Amplitude erhöht, wird man feststellen, daß der Strom ebenfalls zunimmt. Die Erklärung ist einfach: Die Spannung muß pro Zeiteinheit schneller steigen bzw. fallen, um in kürzerer Zeit den positiven bzw. negativen Scheitelwert zu erreichen. Ein höherer Gradient bedeutet aber, daß auch mehr Elektronen pro Zeiteinheit umgelagert werden müssen, was gleichbedeutend mit einem höheren Strom ist. Wie groß der Strom ist, hängt aber nicht nur von der Spannungsänderungsgeschwindigkeit sondern zusätzlich auch von der Kapazität des Kondensators ab, da diese maßgeblich dafür ist, wieviele Elektronen beim Anlegen einer bestimmten Spannung von einer Platte auf die andere umgelagert werden müssen. Mathematisch kann man den Stromverlauf als Produkt aus Kapazität und Verlauf der Änderungsgeschwindigkeit der Spannung beschreiben, also

I(t) = C * v(t)      ; v(t) = Änderungsgeschwindigkeit der Spannung

Die Änderungsgeschwindigkeit der Spannung kann man folgendermaßen bestimmen: Man mißt die Spannung und notiert sich die Uhrzeit. Dieser erste Meßwert der Spannung wird als U1 bezeichnet und die Uhrzeit als T1. Später wird erneut die Spannung gemessen. Dieser Meßwert wird als U2 bezeichnet und die Uhrzeit als T2. Die Spannungsänderungsgeschwindigkeit kann man berechnen, indem man die Spannungsänderung (also U2-U1) durch die für die Änderung benötigte Zeit (also T2-T1) dividiert. Differenzen werden in der Mathematik mit dem griechischen Symbol Δ (=Delta) bezeichnet, so daß man U2-U1 auch als ΔU und T2-T1 als Δt schreiben kann. Damit ergibt sich folgende Formel zur Berechnung des Stroms:

I = C * ΔU/Δt

Es gibt hierbei nur ein Problem: Wenn man nur an zwei Punkten mißt, kann man nur die mittlere Änderungsgeschwindigkeit bestimmen, weil der Spannungsverlauf zwischen den beiden Meßpunkten unberücksichtigt bleibt. Der Kondensator reagiert jedoch auf den Momentanwert und nicht auf Mittelwerte. Um den Momentanwert der Änderungsgeschwindigkeit zu bestimmen, muß die Meßdauer sehr kurz sein. Mit mathematischen Methoden kann man sie auf quasi Null reduzieren und damit durch Berechnung die Momentanwerte des Stroms bestimmen, wenn man die Kurvenform der Spannung kennt. Damit kann man berechnen, wie der Kondensator zu jedem Zeitpunkt auf Spannungsänderungen reagiert. Die Rechenmethode bezeichnet man als Differentialrechnung und bringt dies durch eine andere Schreibweise zum Ausdruck: Die ultrakurze Meßzeit bezeichnet man als dt (statt Δt) und die minimale Spannungsänderung als dU (statt ΔU). Der Quotient dU/dt ist dabei die Steigung des Kurvenverlaufs der Spannung in jedem einzelnen Punkt des Kurvenverlaufs und somit der Momentanwert der Änderungsgeschwindigkeit der Spannung. Mathematisch bezeichnet man dU/dt als 1. Ableitung der Funktion U(t). Den Momentanwert des Stroms kann man daher mit folgender Formel berechnen:

I(t) = C * dU/dt

Diese Formel ist gültig für alle Signalformen, für die eine 1. Ableitung existiert. Dies ist für alle real vorkommenden Signalformen der Fall. Eine große Rolle in der Elektrotechnik spielen sinusförmige Spannungsverläufe. Beispielsweise ist der Spannungsverlauf des Stroms aus der Steckdose sinusförmig. Im nachfolgenden Beispiel wird daher gezeigt, was passiert, wenn man einen Kondensator an die sinusförmige Netzspannung anschließt.


Kondensator an sinusförmiger Spannung

Die Netzspannung ist sinusförmig, d.h. ihr Verlauf kann mathematisch mit einer Sinusfunktion beschrieben werden. Mit einem simplen sin(x), wie man es aus vielleicht aus der Schule kennt, ist es allerdings nicht getan, denn der Wert der Funktion sin(x) schwankt nur zwischen -1 und 1, ist dimensionslos und eine Funktion des Winkels. Die Netzspannung ist hingegen nicht dimensionslos, sondern besitzt die Einheit Volt und schwankt zwischen -325 V und +325 V. Das ist der Spitzenwert; der bekannte Wert 230 V ist der Effektivwert. Man muß daher die Sinusfunktion mit 325 V multiplizieren, um die richtige Amplitude zu erhalten. Außerdem ist die Funktion sin(x) als Funktion des Winkels definiert, wobei ein Zyklus von 0 bis 2π (entsprechend 0 bis 360°) reicht. Die Netzspannung ist jedoch ein kontinuierlicher Prozeß, d.h. eine Aneinanderreihung vieler Zyklen, welche mit einer bestimmten Frequenz ablaufen. Man muß daher das Argument der Sinusfunktion so wählen, daß mit Ablauf der Zykluszeit gerade 2π erreicht sind. Als Funktion, die den Verlauf der Netzspannung beschreibt, erhält man daher:

U(t) = 325 V * sin(2π * f * t)     ;f = Frequenz der Netzspannung (50 Hz)

Bei der Netzfrequenz 50 Hz ergibt sich eine Zykluszeit von 20 ms, d.h. alle 20 ms wiederholt sich ein Zyklus. Den Stromverlauf kann man berechnen, indem man die 1. Ableitung von U(t) bildet. Die 1. Ableitung von sin(x) ist cos(x). Man kann trotzdem nicht einfach in der Formel Sinus durch Cosinus ersetzen. Denn mathematisch handelt es sich bei U(t) um eine Funktion der Art k * sin(m * t), deren 1. Ableitung k * m * cos(m * t) ist. Woher man das weiß? Wer mathematisch begabt ist, kann sich die 1. Ableitung selbst herleiten. Ansonsten hilft auch eine mathematische Formelsammlung weiter, in der man zahlreiche sogenannte Funktionsprototypen und deren Ableitungen finden kann. Die Konstante k entspricht in unserem Beispiel dem Faktor 325 V und die Konstante m dem Faktor 2π * f. Damit ergibt sich der Stromverlauf zu

I(t) = C * dU/dt = C * U0 * 2π * f * cos(2π * f * t)

Der Ausdruck C * U0 * 2π * f ist bei gleichbleibenden Frequenz und gleichbleibender Amplitude (was auf die Netzfrequenz immer zutrifft) eine Konstante und entspricht dem Spitzenwert I0 des Stroms, so daß man die obige Formel einfacher schreiben kann:

I(t) = I0 * cos(2π * f * t))

Der Strom besitzt also einen cosinusförmigen Verlauf und hat, wie auch nicht anders zu erwarten, die gleiche Frequenz wie die Spannung, die ihn hervorrief. Die Cosinus-Funktion sieht optisch aus wie eine Sinus-Funktion, ist jedoch um 90° phasenverschoben, d.h. eilt der Sinus-Funktion mit einer Phasenverschiebung von 90° vor. Deshalb spricht man auch oft davon, daß bei Kondensatoren der Strom der Spannung voreilt (eine Spannung kann am Kondensator nur anliegen, wenn vorher Strom in ihn geflossen ist). In Bild 8 sind Spannungs- und Stromverlauf aufskizziert:


Bild 8: Spannungs- und Stromverlauf bei Sinusspannung

Wenn man bei konstanter Spannungsamplitude die Frequenz erhöht, nimmt die Änderungsgeschwindigkeit der Spannung zu, weil weniger Zeit für einen Zyklus zur Verfügung steht. Dadurch, daß in kürzerer Zeit die gleiche Anzahl Elektronen bewegt werden muß, nimmt die Amplitude des Stroms zu. An der Formel zur Berechnung des Stroms I0 = C * U0 * 2π * f sieht man dies daran, daß der Strom proportional zur Frequenz f ist. Bei doppelter Frequenz ergibt sich daher auch der doppelte Strom.


Leistungsaufnahme

Um es vorwegzunehmen: Wie oben dargestellt fließt bei angelegter Wechselspannung auch ein Strom durch den Kondensator, aber trotzdem nimmt er keine Leistung auf. Ein Paradoxon? Nein! Natürlich gilt nach wie vor, daß sich die aufgenommene Leistung aus dem Produkt von Spannung und Strom berechnet. Bei einem passiven Bauteil, das Leistung aufnimmt, ist bei positiver Spannung auch der Strom positiv oder bei negativer Spannung der Strom negativ. Denn dann ist das Produkt aus Spannung und Strom und damit die aufgenommene Leistung (P = U * I) positiv. Dies ist beim Kondensator nur in den pink hinterlegten Bereichen der Fall. In den grün hinterlegten Bereichen ist jedoch regelmäßig die Spannung positiv und der Strom negativ bzw. die Spannung negativ und der Strom positiv. Die aufgenommene Leistung ist dann negativ, d.h. der Kondensator nimmt keine Leistung auf sondern gibt Leistung ab. Er wirkt in diesen Bereichen als Spannungsquelle und speist die in den pink hinterlegten Bereichen aufgenomene Leistung wieder zurück.


Bild 9: Leistungaufnahme und -abgabe eines Kondensators

Der Kondensator nimmt daher im zeitlichen Mittel keinerlei Leistung auf, obwohl permanent eine Wechselspannung anliegt und permanent auch ein Wechselstrom fließt. Dies ist keinesfalls mysteriös, denn der Kondensatator nimmt zyklisch Leistung auf und gibt sie lediglich später wieder ab. Der Kondensator arbeitet also ähnlich wie ein Akkumulator: Er wird geladen und gibt den Ladestrom später wieder ab. Im Gegensatz zu einem Akkumulator ist der Wirkungsgrad eines Kondensators allerdings ganz erheblich besser, nämlich nahezu 100%: Von winzig kleinen dielektrischen sowie Isolations-Verlusten abgesehen gibt er exakt die aufgenommene Leistung ab, die er vorher aufgenommen hatte.

In der Praxis muß der Strom allerdings durch meistens sehr lange Leitungen fließen, nämlich vom Elektrizitätswerk bis zum Kondensator und wieder zurück. Diese Leitungen besitzen einen ohmschen Widerstand, so daß der Stromfluß einen kleinen Spannungabfall in diesen Leitungen verursacht, der in Verbindung mit dem fließenden Strom eine Leistungsaufnahme bewirkt. An einem ohmschen Widerstand sind nämlich der an ihm gemessene Strom und die an ihm gemessene Spannung immer in Phase d.h. besitzen keine Phasenverschiebung zueinander, egal wie hoch die durch z.B. einen Kondensator verursachte Phasenverschiebung des Stroms zur Speisespannung sein mag. Das Gleiche passiert natürlich auch dann, wenn nicht nur die Leitungswiderstände wirksam werden, sondern wenn man einen Widerstand als Bauelement in Reihe mit einem Kondensator schaltet. Die Leistungsaufnahme erfolgt immer durch die Leitungen oder den vorgeschalteten Widerstand aber nicht durch den Kondensator.
  

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